The Critical Phase Curve of Van Der Pol Equation

本文探討Van der Pol方程式x” +μx'(x^2 - 1) + x = 0在相平面上一條特殊臨界曲線，記為y∞(χ;μ)。它是Van der Pol方程式在相平面上特定區域中對於極限環的漸進解。本研究證明在相平面的上半平面中，Van der Pol方程式的極限環與臨界曲線y∞(χ;μ)之差至多為O(μ^(-1/3))，當-1≦x≦0，μ→+∞。更進一步，可以利用這個結果，證明當μ→+∞時，相平面上一條Van der Pol方程式的解軌線從y軸出發且在極限環外部時，當第一次與x=1相交於第四象限之後，其與極限環的差至多為O(μ^(-1/3))。